Tserouf — caustiques du graphe pancake
2026 · graphe des permutations d’un mot · caustique du parcours d’Aboulafia
Rendre visible la trace d’une totalité qu’on ne peut pas dessiner : le graphe de toutes les permutations d’un mot, tracé selon l’ordre d’Aboulafia, révèle une symétrie diédrale que nul n’a composée.
De près, les cordes semblent jetées au hasard ; de loin, elles se condensent en une caustique. Ni cristal ni fumée : entre l’ordre et le chaos, la bande étroite du complexe. Une même loi — la symétrie —, une diversité de formes qui semble sans fin.
exemplaires
Un graphe, pas un nuage
Chaque sommet est une permutation de n lettres ; deux sommets sont reliés quand
un renversement — retourner une fin de mot — mène de l’un à l’autre. Placés
sur le cercle dans l’ordre d’Aboulafia, ces sommets et leurs cordes composent une
roue. Ce sont des graphes, non des points : la symétrie ne s’y plaque pas, elle
doit préserver l’orbite des arêtes — contrainte que la plupart des ordres ne
satisfont pas, et que celui d’Aboulafia satisfait, seul, entièrement.
Le graphe d’ordre n possède n! sommets. À n = 15, sa couche d’arêtes longues
compte à elle seule 654 milliards de cordes — personne ne les verra jamais
toutes. On ne les énumère pas : chaque trait est une adresse, calculée par une
récursion de profondeur n. L’immense se donne dans un fragment : moins de quatre
cordes sur dix millions suffisent à faire apparaître toute la caustique.
La nécessité et le hasard
En laissant la lumière traverser ce réseau, j’obtiens une caustique. La symétrie diédrale Dₙ ne vient d’aucune main : elle monte de la structure même des permutations — c’est comme si leur nature résolvait l’équation. Avec le mathématicien Or-Hai Benjo, nous l’avons démontré.
De près, les cordes semblent erratiques ; de loin, elles se recondensent en une forme lisse et symétrique. Le chaos n’est pas l’ennemi de l’ordre — il en est le produit. Entre le hasard et la nécessité, ni cristal ni fumée : la bande étroite du complexe. Une même règle, une diversité qui semble sans fin — jusqu’où elle va, et de quelle nature elle est, c’est l’objet de mes recherches en cours.